Die Poisson-Verteilung ist das Fundament der meisten professionellen Fußball-Vorhersagemodelle. Sie wandelt zwei Zahlen — die erwarteten Tore jedes Teams — in ein vollständiges Wahrscheinlichkeitsgitter für alle möglichen Ergebnisse um. Aus diesem einzelnen Gitter können Sie 1X2-Wahrscheinlichkeiten, Ergebniswetten-Quoten, Über/Unter-Prozente, BTTS-Wahrscheinlichkeit und Asian-Handicap-Linien berechnen.
Dieser Leitfaden führt durch den gesamten Prozess: von der Berechnung der Angriffs- und Abwehrstärke bis zum Aufbau einer vollständigen 0–4 × 0–4 Matrix, bis hin zur Suche nach Wert gegen Buchmacher-Quoten.
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Wie die Poisson-Formel funktioniert
Die Poisson-Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(X = k) = (e^-λ × λ^k) / k!
Dabei ist:
- λ (Lambda) = die erwartete Torzahl des Teams
- k = die exakte Torzahl, deren Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll
- e = Eulersche Zahl (≈ 2,718)
- k! = k Fakultät (3! = 6, 2! = 2, 1! = 1, 0! = 1)
Für ein Team mit λ = 1,5 erwarteten Toren:
| Tore (k) | Berechnung | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 0 | e^-1,5 × 1,5^0 / 1 | 22,3% |
| 1 | e^-1,5 × 1,5^1 / 1 | 33,5% |
| 2 | e^-1,5 × 1,5^2 / 2 | 25,1% |
| 3 | e^-1,5 × 1,5^3 / 6 | 12,6% |
| 4 | e^-1,5 × 1,5^4 / 24 | 4,7% |
| 5+ | Rest | 1,8% |
Schritt 1: Angriffs- und Abwehrstärke berechnen
Stärkeratings normalisieren die Teamleistung gegenüber dem Ligadurchschnitt.
Formeln:
- Angriffsstärke = Ø erzielte Tore (heim oder auswärts) ÷ Ligadurchschnitt erzielte Tore
- Abwehrstärke = Ø kassierte Tore (heim oder auswärts) ÷ Ligadurchschnitt kassierte Tore
Bundesliga 2025/26 Ligadurchschnitte: Heimtore = 1,55 pro Spiel, Auswärtstore = 1,20 pro Spiel.
Praxisbeispiel: Bayern München (heim) vs. Bayer Leverkusen (auswärts)
Bayern München Heimstatistiken (17 Spiele):
- 45 Tore heim erzielt = 2,65 pro Spiel → Angriffsstärke = 2,65 / 1,55 = 1,71
- 14 Tore heim kassiert = 0,82 pro Spiel → Abwehrstärke = 0,82 / 1,20 = 0,68
Bayer Leverkusen Auswärtsstatistiken (17 Spiele):
- 18 Tore auswärts erzielt = 1,06 pro Spiel → Angriffsstärke = 1,06 / 1,20 = 0,88
- 22 Tore auswärts kassiert = 1,29 pro Spiel → Abwehrstärke = 1,29 / 1,55 = 0,83
Erwartete Tore (λ):
- λ_Bayern = Bayern Angriff × Leverkusen Abwehr × Liga Heimdurchschnitt = 1,71 × 0,83 × 1,55 = 2,20
- λ_Leverkusen = Leverkusen Angriff × Bayern Abwehr × Liga Auswärtsdurchschnitt = 0,88 × 0,68 × 1,20 = 0,72
Schritt 2: Einzelne Torwahrscheinlichkeiten berechnen
Wenden Sie die Poisson-Formel für 0–4 Tore pro Team an:
Bayern München (λ = 2,20):
| Tore | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 0 | 11,1% |
| 1 | 24,4% |
| 2 | 26,8% |
| 3 | 19,6% |
| 4 | 10,8% |
| 5+ | 7,3% |
Bayer Leverkusen (λ = 0,72):
| Tore | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 0 | 48,7% |
| 1 | 35,1% |
| 2 | 12,6% |
| 3 | 3,0% |
| 4 | 0,5% |
| 5+ | 0,1% |
Schritt 3: Vollständige Ergebniswahrscheinlichkeitsmatrix erstellen
Multiplizieren Sie die Torwahrscheinlichkeiten beider Teams für jede Ergebniskombination:
Bayern München vs. Bayer Leverkusen — Ergebniswahrscheinlichkeitsmatrix (%)
| Leverkusen 0 | Leverkusen 1 | Leverkusen 2 | Leverkusen 3 | Leverkusen 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Bayern 0 | 5,4 | 3,9 | 1,4 | 0,3 | 0,1 |
| Bayern 1 | 11,9 | 8,6 | 3,1 | 0,7 | 0,1 |
| Bayern 2 | 13,1 | 9,4 | 3,4 | 0,8 | 0,1 |
| Bayern 3 | 9,6 | 6,9 | 2,5 | 0,6 | 0,1 |
| Bayern 4 | 5,3 | 3,8 | 1,4 | 0,3 | 0,1 |
Das wahrscheinlichste Ergebnis ist 2:0 für Bayern München mit 13,1%.
Schritt 4: Marktwahrscheinlichkeiten ableiten
Spielergebnis (1X2):
- Heimsieg (Bayern): Summe aller Zellen mit Bayern > Leverkusen = ~63% → faire Quote ≈ 1,59
- Unentschieden: Diagonale (0:0, 1:1, 2:2, 3:3, 4:4) = ~17% → faire Quote ≈ 5,88
- Auswärtssieg (Leverkusen): Summe aller Zellen mit Leverkusen > Bayern = ~12% → faire Quote ≈ 8,33
Über/Unter 2,5 Tore: Summe aller Zellen mit Gesamt-Toren ≥ 3: ~53% Über 2,5 → faire Quote ≈ 1,89
Beide Teams treffen (BTTS): Summe aller Zellen mit Bayern ≥ 1 UND Leverkusen ≥ 1: ~41% → faire Quote ≈ 2,44
Ergebniswette (einzelne Zellen):
- 2:0 Bayern = 13,1% → faire Quote ≈ 7,63
- 1:0 Bayern = 11,9% → faire Quote ≈ 8,40
- 1:1 = 8,6% → faire Quote ≈ 11,6
Schritt 5: Wert gegen Buchmacher-Quoten finden
Wert besteht, wenn Buchmacher-Quote > Ihre faire Quote.
Formel für erwarteten Wert: EW = (Ihre Wahrscheinlichkeit × Buchmacher-Quote) - 1
Beispiel 2:0 Bayern: EW = (0,131 × 8,40) - 1 = 1,100 - 1 = +10,0% EW
Beachten Sie bei deutschen Buchmachern auch die 5% Sportwettensteuer bei der Berechnung Ihres tatsächlichen Erwartungswerts.
Modellgenauigkeit und bekannte Einschränkungen
Was die Zahlen sagen
Backtests des Poisson-Modells an Bundesliga-Daten über mehrere Saisons zeigen:
- 1X2-Genauigkeit: 45–52% — deutlich besser als Zufall (33%), aber die Unvorhersehbarkeit des Fußballs bleibt
- Ergebniswetten-Genauigkeit: ~15–18% beim wahrscheinlichsten Ergebnis
Das Unentschieden-Unterschätzungsproblem
Das einfache Poisson-Modell unterschätzt Unentschieden um ca. 20%. In einer typischen Bundesliga-Saison treten 0:0-Unentschieden mit etwa 7–9% auf, aber das einfache Poisson sagt oft nur 4–6% voraus. Dies liegt daran, dass Poisson annimmt, dass Tore unabhängig sind — in der Praxis schafft ein Spiel zwischen zwei defensiv ausgerichteten Teams eine Korrelation, die torlose Ergebnisse inflationiert.
Weitere Einschränkungen
- Konstante Torrate: Poisson nimmt die gleiche Torrate über 90 Minuten an. Rote Karten, Ermüdung und Spielstand ändern die Dynamik erheblich.
- Keine Situationsfaktoren: Verletzungen, Sperren, Pokalhalbfinale und Kopf-an-Kopf-Dynamiken werden nicht erfasst.
- Probengröße: Weniger als 8 Spiele Lookback-Zeitraum erzeugt Rauschen; eine vollständige Saison kann veraltete Daten enthalten.
- Defensivligenprobleme: Das Modell funktioniert am besten in torreichen Ligen (Bundesliga, Eredivisie) und ist weniger zuverlässig in defensiven Ligen.
Die Dixon-Coles-Korrektur
Die Statistiker Simon Dixon und Stuart Coles (1997) entwickelten eine weit verbreitete Verbesserung, die speziell das Unentschieden-Unterschätzungsproblem adressiert.
Zwei Hauptänderungen:
-
Korrelationsparameter (ρ): Ein Korrekturfaktor, der speziell auf 0:0, 0:1, 1:0 und 1:1 angewendet wird und deren Wahrscheinlichkeit gegenüber dem einfachen Poisson erhöht.
-
Zeitgewichtung: Neuere Spiele werden stärker gewichtet als ältere. Typische Implementierung: Gewicht = e^(-k × vergangene_Tage), wobei k eine Zerfallskonstante ist.
Praktische Auswirkung:
| Ergebnis | Einfaches Poisson | Dixon-Coles | Differenz |
|---|---|---|---|
| 0:0 | 5,4% | 6,8% | +1,4% |
| 1:0 | 11,9% | 13,2% | +1,3% |
| 0:1 | 3,9% | 4,6% | +0,7% |
| 1:1 | 8,6% | 9,2% | +0,6% |
| 2:1 | 9,4% | 9,0% | -0,4% |
Die Gesamtwahrscheinlichkeit für Unentschieden steigt von ~17% auf ca. ~20% unter Dixon-Coles.
Poisson vs. xG-Modelle
Tatsächliche Tore verwenden (traditionelles Poisson):
- Einfacher zu berechnen — Daten sind öffentlich zugänglich
- Schließt Abschlussglück als Signal ein
xG als Poisson-Eingaben verwenden:
- Entfernt Abschluss-Varianz — stabiler und prädiktiver über 10+ Spiele
- Erfordert eine Datenquelle über reine Ergebnisse hinaus (Understat, FBref)
Empfehlung: Verwenden Sie xG-Eingaben für Bundesliga, Premier League, La Liga und Serie A. Für Ligen ohne zuverlässige xG-Daten sind tatsächliche Tore mit einem 10–15 Spiele Lookback ausreichend.
Tools für die Poisson-Modellierung
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Für eigene Modelle:
- Excel / Google Sheets:
=POISSON.VERT(k; lambda; FALSCH)für einzelne Zellwahrscheinlichkeiten - Python:
from scipy.stats import poisson; poisson.pmf(k, lambda) - R:
dpois(k, lambda)für Einzelwerte;outer(dpois(0:5, lambda_heim), dpois(0:5, lambda_gast))für eine vollständige Matrix